物理のトリビア

スーバーボールロケットはどうしてあんなに高くとぶ?

スーパーボールロケットって知ってますか?大きさの違うスーパーボールを竹串に刺して地面に落とすと非常に高く飛び上がります。
よく見ると下にあるスーパーボールはほとんど動かず一番上のスーパーボールだけが高く飛んでいます。
どうしてこうなるんでしょう。

まずはいろんな組合せのスーパーボールが飛びあがる様子を見てみましょう

衝突に使ったスーパーボールの質量

A(赤・透明青)22.1g B(紫)13.4g C(桃)8.3g D(橙)3.9g E(黄・赤)2.0g

(1)2つのスーパーボールの衝突
衝突A−A 同じ重さ 2つが一緒に跳ね上がる   衝突A−B 1.6倍 Aが少し跳ねてBが大きく跳ねる
          

衝突A−C 2.7倍 Aがほぼ静止Cが大きく跳ねる  衝突A−D 5.7倍 Aが少し跳ねてDが大きく跳ねる
AのエネルギーがCに移った
          

衝突A−E 11倍 Aが跳ねてEが大きく跳ねる

(2)3つのスーパーボールの衝突
衝突A−C−D 2.7倍,2.1倍 ACがほぼ静止  衝突A−C−E 2.7倍,4.1倍 Aはほぼ静止、Cは少し跳ねる
A,CのエネルギーがDに移った
          

衝突A−D−C 5.7倍,0.47倍 ADはほぼ静止  衝突A−E−C 11倍,0.24倍 AEはほぼ静止 Cがやや跳ねる
Cあまり跳ねない
          

4つのボールの衝突
衝突A−C−D−E 2.7倍,2.1倍,2.0倍 ACがほぼ静止
Dが少し跳ねる A,C,DのエネルギーがEに移った

スーパーボールロケットは一番下のボールが床で跳ね返り上のボールと衝突することでエネルギーの移り変わりが起きます。いろんな衝突とエネルギーの移り変わりを振り子の衝突で解説します。

解説1:止まっているボールに、ある高さから同じ重さのスーパーボールを衝突させるとその運動エネルギーがすべて止まっているほうに移動し、止まっているほうが同じ高さまで上がります。

しかし重さが違うとエネルギーは完全には移動しません。重いボールが、止まっている軽いボールに衝突すると重いボールは速さが遅くなりますがそのまま進みます。逆に軽いボールが重いボールに衝突すると重いボールを少し動かしますが自分は跳ね返ります。どちらもはじめのボールの運動エネルギーが2つのボールに分かれて移り変わったのです。
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このエネルギーの移り変わりは2つのボールの質量の違いで決まります。
衝突させるはじめのボールの質量をM、衝突させる直前の速さをV、衝突後の2つのボールの質量をMとm、衝突直後の2つの速さをVa、Vbとすると、次のような関係があります。
これを解けばすべての衝突の様子が分かります。

 衝突前の運動量 MV =衝突後の運動量 MVa + mVb
 衝突前の運動エネルギー 1/2MV2=衝突後の運動エネルギー 1/2MVa2 + 1/2mVb2

ただし、これは衝突が真正面からおき、衝突の際、ボールが変形せず、音や熱、光などでエネルギーが逃げていかないという理想的な条件の場合です。でもスーパーボールだとほぼこのような衝突が可能です。

解説2:今度は同じ高さから同じ重さのスーパーボールを同時に離して衝突させます。2つは同じ速さで衝突し、それぞれ同じ速さで逆向きに跳ね返り、また同じ高さまで上がります。

ところが2つのボールの重さがほぼ3倍のとき、同じ高さから(同じ速さで)衝突させると重いほうは静止して、軽いほうが大きく跳ね返ります。
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これも解説1と同じように衝突前後の運動エネルギーと運動量の関係で決まります。 ただし今度は2つが速さVと−Vで衝突します。

 衝突前の運動量 MV−mV =衝突後の運動量 MVa + mVb
 衝突前の運動エネルギー 1/2MV2+1/2mV2=衝突後の運動エネルギー 1/2MVa2 + 1/2mVb2

これを解けば分かります。M=3、m=1にして考えてみてください。
Va=0,Vb=2Vとなり重いほうが静止して、軽いほうが2倍の速さで飛びます。

重いほうから軽いほうへエネルギーがすべて移ったのです。

3つの場合は質量も速さも違う衝突になりますが(質量Mのボールが速さ2Vで、質量mのボールが速さ−Vで衝突)、これも上の関係式から考えることができます。

ただし床での衝突、それぞれのボールの衝突がすべて理想的でエネルギーが逃げて行かない場合です。 実際には少し計算とは異なりますがスーパーボールはそれに近いです。

 

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